jueves, 21 de marzo de 2013

Péndulo caótico


Hace ya unos cuantos años de eso, por aquel entonces yo era estudiante de postgrado de ingeniería, los matemáticos estudiaban el caos. Se estaba produciendo toda una revolución en la comprensión de unos fenómenos que, hasta entonces, no parecía posible describir de ninguna forma con las herramientas matemáticas disponibles. Sería más acertado decir que se culminaba, en cierto modo, un esfuerzo que había arrancado décadas atrás. Sea como fuere, a finales de los años ochenta y principios de los noventa del siglo pasado, el tema saltó a los medios y se volvió bastante popular. Las revistas científicas publicaban cada poco tiempo un artículo sobre el tema, y los aficionados corríamos a programar nuestros rudimentarios ordenadores para dibujar el conjunto de Mandlebrot u otro similar. Quien más y quien menos, había oído hablar alguna vez de los conjuntos fractales y del caos, cuyo lema se resumía, más o menos,  como, “El aleteo de una mariposa puede alterar el clima en el otro extremo del mundo”. Esta frase venía a ilustrar el hecho de que la clave en este tipo de fenómenos, aparentemente caóticos, es que un cambio, por muy pequeño que sea, puede desembocar a la larga en variaciones enormes. El problema era cómo ilustrar fenómenos caóticos con elementos sencillos. El clima es un sistema dinámico, que es como suele denominarse a este tipo de sistemas, pero no se puede poner encima de la mesa para verlo funcionar. Entonces, a alguien se le ocurrió la manera de que un péndulo, uno de los sistemas más simples de la física, se comportase de manera impredecible. Rápidamente, me aprovisioné de un ejemplar.

Figura 1


¿Cómo funciona un péndulo? Un péndulo—como se ve en el esquema de la figura nº 1— no es más una masa suspendida de un punto por hilo. Si separáis la masa de su posición de equilibrio—que es cuando está en el punto más bajo—, la fuerza de la gravedad lo hará caer; pero no más que la distancia que permite la longitud del hilo. En consecuencia, el péndulo no puede hacer otra cosa que moverse arriba y abajo en un plano, describiendo un arco de circunferencia. Si no separáis mucho el péndulo de su posición de equilibrio, —es decir, si el ángulo que hemos llamado θ es pequeño—el movimiento será regular: digamos que hará, "tic-tac, tic-tac", razón por la cual se emplean en los relojes. La fricción le irá robando poco a poco la energía, hasta hacer que se detenga. Si en lugar de sacarlo levemente de su posición de equilibrio y soltarlo, también le dais un suave impulso en horizontal—por ejemplo, cuando tomáis la cuerda con los dedos y comenzáis a darle vueltas—, el movimiento se hace algo más interesante: la masa empezará a girar alrededor de un eje vertical y, junto con el hilo, describirá una superficie cónica; al menos por un tiempo, porque la fricción lo irá parando y la masa describirá en realidad una espiral, hasta detenerse completamente. Le habremos dado un poco más de libertad para moverse. Es lo que intentaba representar en la figura nº 2.
Figura 2

Si le damos total libertad, la masa podrá moverse en una esfera cuyo radio es igual a la longitud del hilo: la trayectoria dependerá de la acción combinada de la gravedad, y de la velocidad y el ángulo que le hayamos dado al comienzo; esto último es lo que lo físicos suelen llamar "condiciones iniciales", pero aquí no nos preocuparemos por el nombre. Girará alrededor del centro de la esfera, al tiempo que oscila arriba y abajo de modo bastante complejo.


Figura 3







¿Cómo podemos lograr que un sistema relativamente sencillo como un péndulo—su simplicidad es más aparente que real, como hemos visto— se comporte caóticamente? Alguien tuvo la idea de introducir imanes en la masa del péndulo y en la base (véanse las figuras 3 y 4). 
Cuando dos polos norte o dos polos sur de los imanes se enfrentan, a pasar uno junto al otro, se repelen interrumpiendo el movimiento; la masa sufre un brusco e inesperado empujón y su trayectoria cambia súbitamente de dirección. Ahora, la trayectoria concreta de la masa, que seguirá estando contenida en una esfera, igual que antes, depende también de la posición relativa de los imanes al acercarse entre sí. En un momento dado, la inercia puede sobreponerse a todo lo demás; en otros, son los imanes los mandan; otras veces, la gravedad se impone y en otras, por fin, es la fricción la que lleva la voz cantante. ¿Cómo "ver" la trayectoria? Cuando era estudiante se me ocurrió la forma.


Figura 4

Si miráis la figura 4, en su parte inferior izquierda, os explicaré mi idea para visualizarla. En aquella época utilicé película fotográfica, en lugar de usar una cámara digital como he hecho esta vez, pero el procedimiento es el mismo. Se trata de fotografiar el péndulo en pleno movimiento, colocando la cámara en posición de "ampolla" o, simplemente, dándole unos pocos segundos de exposición (10 o 15 bastarán). Iluminamos la bola—que, como veis en la foto está ligeramente espejada— con una lámpara y el reflejo dibujará la trayectoria en el aire. Es muy fácil, y cualquiera puede hacerlo. Cuando se observan los resultados, es divertido intentar imaginar qué factor ha predominado en cada fase de la trayectoria obtenida.  Echemos un vistazo a los resultados.


Claramente, en la fase inicial del movimiento, la inercia de la velocidad que le hemos imprimido a la masa y la gravedad predominan, y el movimiento es bastante suave y "circular".
















En una fase intermedia, la repulsión y atracción de los imanes empieza a tomar el mando, como parece desprenderse de la fotografía.










Finalmente, cuando la masa se acerca a su punto de equilibrio, la fricción parece el principal argumento y una especie de oscilación rsidual.




Aquí os dejo algunas fotografías más, para que os divirtáis analizándolas. Espero que os gusten.












Aquí os dejo algunas más:









Para terminar, una sugerencia para pensar: en algunas partes de las curvas (en los puntos de retroceso, por ejemplo) la curva aparece más brillante: ¿imagináis por qué ocurre eso? A veces, hay más información de lo que parece…










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