martes, 12 de enero de 2010

El viaje de Nico, capítulo 8


CAPÍTULO 8 

Raíz de dos 

El porche era espacioso y el aire se perfumaba al atravesar los jazmines y las buganvillas que crecían formando una tupida pared vegetal. Hamacas y mecedoras formaban un corrillo, invitando a mantener largas y amenas conversaciones en ellas. 
—¿Por dónde iba?—dijo Zornaldo, cuando todos se hubieron 
acomodado—¡Ah, sí! La crisis de los inconmensurables. 
—Usted ha insinuado antes que, a pesar de todo, resultó beneficiosa—le recordó Micaela. 
—Así es—respondió—. Veréis, los pitagóricos funcionaban de manera parecida a una sociedad secreta y poseían su propio emblema; una figura que les identificaba: el pentágono 
estrellado. Esta figura se forma al dibujar todas las diagonales de un pentágono regular. Al estudiar sus propiedades, descubrieron que entre los lados del pentágono y sus diagonales que, como ya he dicho, forman los lados de la estrella de cinco puntas, se verificaba una relación muy peculiar, llamada sección áurea. Esta relación, por muy simple y bella que les pudiese parecer, no podía expresarse mediante un número entero, ni como la razón entre dos números enteros. Un verdadero fastidio. 

—En otras palabras—intervino la buena Ordenación, siempre oportuna—, que no había manera de encontrar una unidad con la que medir ambos segmentos, el lado del pentágono y su diagonal, de modo que ambas medidas arrojaran un número entero.
Pentágono estrellado 
—Pero, ¿cómo podían estar tan seguros?—preguntó Nico. 
—Esa es una excelente pregunta, y en ella se encierra el motivo por el que aquella crisis trajo un gran beneficio para los matemáticos griegos. Para poder estar realmente seguros de que no existía ninguna razón entre números enteros que pudiese expresar la sección áurea, un número cuyo valor exacto es(√5-1)/2, no podían limitarse a probar cocientes al azar—Nico no pudo evitar recordar a los piratas cavando en la playa—, porque no acabarían nunca, sino que estaban obligados a encontrar una demostración que les convenciera de ello, sin dejar lugar a dudas. 
—¿Ese fue el provecho que sacaron de su desgracia? ¿Las demostraciones?—preguntó Micaela. 
—Sí, porque comprendieron que habían dado con una forma de pensamiento muy potente. Habían dado un paso más que las culturas que les habían precedido. 
—Creo que me voy a arrepentir de preguntarlo—dijo Micaela 
con cierta cautela—pero, ¿cómo se demuestra que dos segmentos no son conmensurables? 
—Para verlo, utilizaremos otro caso que surgió en la antigua Grecia: el lado y la diagonal de un cuadrado—al decir esto, Zornaldo trazó con su dedo un cuadrado en el aire, que quedó flotando con sus lados iluminados ante ellos. Nico y Micaela estaban impresionados. Luego, añadió su diagonal con el mismo procedimiento—. Como sabéis, el teorema de Pitágoras nos dice que la diagonal “d” es √2 veces el lado “l”, puesto que d2=l2+l2=2l2.
Veamos primero una forma aritmética de demostrar que este número es irracional. Supongamos, por el contrario, que √2 fuese un número racional, es decir, el cociente de dos enteros p/q. Podemos suponer que p y q no tienen factores comunes o,como suele decirse, que la fracción es irreducible o incluso que mcd(p,q)=1. En caso contrario, sólo tendríamos que dividir ambas cantidades por dichos factores comunes. Tendríamos entonces—dijo escribiendo en el aire como antes—que √2=p/q. Esto es lo mismo que decir que 2= P2/q2, ¿no es así?
—Cierto—admitieron los niños, cuyas caras se iluminaban con los signos que flotaban ante ellos. 
—En ese caso—prosiguió Zornaldo, sujetando la pipa entre sus dientes—, también será verdad que  p2=2q2 , por lo que queda claro que p2 es un número par. Pero eso significa que también p debe serlo, puesto que un número impar elevado al cuadrado, sigue siendo impar—elevad un número de la forma 2n+1 al cuadrado y lo comprobaréis—. Si p es múltiplo de 2, p2 lo será de 4, por lo que la igualdad anterior nos dice que  q2 también debe ser un número par. Por la misma razón que antes, esto significa que q es de nuevo un número par; pero ahora hemos llegado a la conclusión de que p y q son pares, lo que está en contradicción con nuestra suposición de que p y q no tenían factores comunes; ya que hemos demostrado que ambos son divisibles por 2. 
—Lo que quieres decir—razonó Nico—es que, si suponemos que el lado y la diagonal de un cuadrado son conmensurables, eso es equivalente a afirmar que √2 sea racional. 
—Exacto—confirmó Zornaldo. 
—Y que, si suponemos que √2 se puede expresar como una fracción irreducible, llegamos a una contradicción, lo que demuestra que nuestra suposición era errónea desde el principio—dijo Micaela, terminando el razonamiento que Nico había empezado. 
—¡Muy bien!—les felicitó—, veo que lo habéis entendido. 
—Pero, al principio dijo que esta era una manera aritmética de demostrarlo—dijo Nico—, ¿hay más?


Los niños miraron expectantes a Zornaldo. Ahora que Nico y Micaela se habían lanzado a razonar juntos, no iban a quedarse a medias. 

—Así es. Echemos mano de la geometría—y, al decir esto, las cifras y letras que acababan de servir para la demostración, se desvanecieron en el aire, dejando intacto el cuadrado original—. Volvamos a nuestra figura del cuadrado, y supongamos de nuevo que el lado y la diagonal son conmensurables. Otra vez, supondremos que podemos encontrar una unidad de medida, tal que las longitudes de ambos segmentos sean números enteros, y tal que su razón represente una fracción irreducible. Llamemos ABCD a los vértices de nuestro cuadrado, y llevemos la longitud del lado sobre la diagonal, marcando sobre ella un punto que podemos llamar “P”. Lo que resta de longitud, el segmento PB sobre la diagonal, será la diferencia entre ambos: d-lclaramente un número entero y más pequeño que l


—¿Cómo sabes que eso es verdad?—dijo Nico, que empezaba a asimilar el espíritu de las demostraciones. 
—Bien preguntado—dijo Zornaldo—. Fíjate, en que d=√2xl, de lo que se deduce que d es más pequeña que 2l, por lo que d-es menor que 2l-l = l
—Eso parece –admitió Micaela. 
—Si, sobre el punto P—continuó Zornaldo—levantamos una perpendicular sobre la diagonal hasta cortar con el lado del cuadrado original, tendremos un nuevo cuadrado, de lado 
l’= d-l y diagonal d’= 2l-d. No es difícil convencerse de que este valor sería de nuevo un número entero, y es evidente que la razón entre la diagonal y el lado vuelve a ser √2.  Sobre esta nueva diagonal, aún podemos repetir la misma operación, y otra vez se verificará la misma relación entre el nuevo lado l’’ y la nueva diagonal d’’
—Así podríamos seguir hasta el infinito—dijeron los niños.
—Exacto, por lo que los segmentos involucrados son cada vez más pequeños, pues l es mayor que l’, que es mayor que l’’, que es mayor que…, y d es mayor que d’, que es mayor que d’’ que es mayor que... Tenemos así una cadena infinita de fracciones √2=d/l= d’/l’= d’’/l’’,... en las que, tanto numeradores como denominadores, son números enteros y positivos que se hacen cada vez más pequeños, y más pequeños, y más pequeños... Lo cual es imposible, ¿no es así, querida? 
—¿Una ristra infinita de enteros positivos cada vez más pequeños?, ¡imposible! Al ir hacia atrás, sólo podríamos llegar hasta el 1, y la ristra se acabaría—respondió la buena Ordenación—. De lo que se deduce que, por muy pequeña que fuese la unidad utilizada, nunca encontraríamos una que nos permitiese alcanzar una fracción irreducible que represente a √2 como cociente de enteros d/l


Los niños dejaron sus vasos de limonada sobre una pequeña mesa dispuesta a tal efecto, y contemplaron aún un rato las 
figuras que Zornaldo había trazado en el aire, hasta que también estas se desvanecieron. Zornaldo y su esposa consideraron que, por ahora, Nico y su amiga Micaela ya tenían suficientes matemáticas y decidieron dejarles solos un rato. Antes de presentarse ante la Asamblea, podían pensar en el acertijo que debían resolver, si así lo querían. Permanecieron callados un buen espacio de tiempo, antes de que Nico rompiera su silencio:

—Todo esto de los pitagóricos y sus estrellas y sus pentágonos—se quejó—puede llegar a resultar muy interesante, pero no veo de qué manera nos ayuda a salir de nuestro aprieto. 
—Quizás—especuló Micaela arrellanada en la tumbona del porche—, quieren decirnos que nuestra manera de pensar debe cambiar. 
—¿Como los griegos, cuando empezaron a  hacer demostraciones? –preguntó.
—Más o menos. 

Repasando todo lo que les había sucedido y el modo en que habían llegado hasta allí, la idea le encajaba bastante bien. Nico se levantó de su asiento.
—¿Cómo habrá hecho eso?—preguntó luego, tratando de dibujar en el aire como había hecho Zornaldo. 
—No sé—repuso Micaela—, pero quizá sería bueno que nos preguntáramos algo más útil. 
—¿Cómo qué?—dijo Nico. 
—Como, por ejemplo, de qué manera vamos a resolver ese dichoso acertijo. 
—Tienes razón—admitió Nico—. ¿Recuerdas el enunciado? Micaela recitó el acertijo, una vez más: 

Cuando iba a San Ives 
me encontré con un hombre y sus siete esposas 
Cada esposa tenía siete sacos 
cada saco, siete gatos 
cada gato, siete gatitos; 
gatos, gatitos, sacos y esposas 
¿Cuántos iban a San Ives? 

—Ya veo que sí, Micaela. 
—Ya va siendo hora de que lo sepas: nadie que quiera ser mi amigo, me llama “Micaela”—dijo la niña contrariada—. ¡Odio ese nombre!

Nico la miraba con expectación, sin atreverse a decir palabra. Aunque Micaela le parecía un nombre bonito, a él también le gustaba que sus amigos le llamasen Nico,
—Llámame “Miqui”—añadió entonces.
—Está bien, Miqui. Cuando iba a San Ives... , hay que resolverlo, ¿recuerdas? 

Nico y Miqui comenzaron a sumar 7, más 7 al cudrado, más 7 al cubo, más 7 a la cuarta y el trabajo les pareció agotador, pero al final llegaron al resultado: un total de 2800.

—¿Sabes?—dijo de pronto Miqui—quizá podríamos habernos ahorrado tanto trabajo, si hubiésemos pensado como los antiguos griegos.
—Sí, creo que sé lo que quieres decir. ¿Y si…? ¿Y si escribiéramos la suma?—y Nico comenzó a escribir sietes y signos en el aire, tal como había hecho Zornaldo. Llamaré S a la suma que buscamos: 7+72+73+74 = S
—Me gusta, porque hay muchos sietes: ¿Y si simplificamos un poco?

Intervino, escribiendo debajo la siguiente expresión:

7(1+7+72+73) = S


—¡Vaya, muy interesante!—exclamó Nico—Ya veo por dónde vas. Lo que ahora hay entre paréntesis es muy parecido a la suma que buscamos…
—¡Exacto! Es S+1-74
—¡Muy lista! ¿Sabes?, estoy empezando a cogerle gusto a las matemáticas, cuando las hago contigo—añadió. Miqui se puso un poco colorada—. Ahora se puede escribir la suma que buscamos de otra forma: 7S+7-75 = S.
—¡Bravo! Luego…
—Luego, 6S=75-7
—O, sea—remató Miqui—, S = 7(74-1)/6
—Que da, 2800 ¡Choca esos cinco, socia!

En esto estaban, cuando se presentó ante la puerta un hombre sudoroso, vestido con una levita y que parecía tener mucha prisa.





Creative Commons License
Viaje al continente perdido de Matemántida by Carlos Olalla Linares is licensed under a Creative Commons Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España License.

No hay comentarios:

Publicar un comentario